ENSAYO DE MATEMATICAS FINACIERAS

ENSAYO DE MATEMATICAS FINACIERAS

                                 

VICENTE ROBLEDO RIVAS

Los fundamentos de las matemáticas es un término a veces usado para ciertos campos de las matemáticas, como la lógica matemática, teoría de conjuntos axiomática, teoría de la demostración, teoría de modelos y la teoría de la recursividad. La búsqueda de fundamentos de las matemáticas es también una pregunta central de la filosofía de las matemáticas.

Formalismo

La filosofía fundamental del formalismo, ejemplificado por David Hilbert, está basado en la teoría axiomática de los conjuntos y la lógica formal. Prácticamente todos los teoremas matemáticos actualmente pueden ser formulados como teoremas de la teoría de los conjuntos. La verdad de un enunciado matemático, en este punto de vista, no es nada más que la reclamación de que el enunciado puede ser derivado de los axiomas de la teoría de los conjuntos, usando las reglas de la lógica formal.

Sólo el uso del formalismo no explica varias cuestiones: por qué debemos de usar axiomas que hacemos y no otros, por qué debemos emplear las reglas de la lógica que hacemos y no otras, por qué enunciados matemáticos verdaderos (como leyes de la aritmética) parecen ser verdad, etc. En algunos casos esto puede ser suficientemente contestadas a través del estudio de las teorías formales, en disciplinas como las matemáticas reversas y la teoría de complejidad computacional.

Los sistemas lógicos formales también pueden correr el riesgo de la incoherencia; con Peano aritmética, esto posiblemente se ha establecido con varias pruebas de coherencia, pero hay un debate sobre si son lo suficientemente significativas. El segundo de los Teoremas de incompletitud de Gödel establece que los sistemas lógicos de la aritmética no pueden contener una prueba válida de su propia coherencia. Lo que Hilbert quería hacer era probar un sistema lógico S que fuera coherente, basado en los principios P, que solo es formado por una pequeña parte de S. Pero Gödel comprobó que los principios P no podían ni siquiera comprobar que P fuera coherente, ¡por no hablar de sólo S!.

Intuicionismo

La filosofía fundamental del intuicionismo o constructivismo, ejemplificado al extremo por Brouwer y con más coherencia por Stephen Kleene, requiere pruebas para ser “constructivo” en la naturaleza – la existencia de un objeto puede ser demostrada, mas no inferida de una demostración de la imposibilidad de su inexistencia. Como una consecuencia inmediata de esto, el intuicionismo no acepta como válido el método de demostración conocido como reducción al absurdo.

Algunas teorías modernas en la filosofía de las matemáticas niegan la existencia de los fundamentos en su sentido original. Algunas teorías tienden a enfocarse en la práctica matemática, y a tener como objetivo el describir y analizar el verdadero trabajo de los matemáticos, como un grupo social. Otros tratan de crear una ciencia cognitiva a las matemáticas, enfocándose en la cognición humana como el origen de la confiabilidad en las matemáticas cuando son aplicadas al mundo real. Estas teorías pueden proponer la búsqueda de fundamentos sólo en el pensamiento humano, no en ningún objetivo afuera de la construcción. Este asunto se mantiene en discusión.

 Logicismo

El logicismo es una de las escuelas de pensamiento en la filosofía de la matemática, que sostiene la teoría de que la matemática es una extensión de la lógica y que, por tanto, toda la matemática o parte de ella es reducible a la lógica. Bertrand Russell y Alfred North Whitehead defendieron esta teoría concebida por Gottlob Frege.

El constructivismo

Es una variante del empirismo, uno de sus epígonos es Roger Apéry.[1]

Critican el formalismo llevado hasta el extremo por el policefálico Nicolas Bourbaki.

Admiten la sucesión de los números naturales, más no el conjunto de los naturales,

Cuestionan la lógica en que se fundamenta la matemática de Bourbaki.

Proclaman la tercera opción respecto del principio del tercio excluido, a más de p y ~p, cabe otra salida q.

Exponentes y Radicales

Exponentes

Si n es un entero positivo, la notación exponencial an,   representa el producto del número real a multiplicado n veces por si mismo. La expresión an   se lee a a la enésima potencia o simplemente a a la n. El entero positivo se llama exponente y el número real a, base. Entonces podemos generalizar: (recordemos que n es cualquier entero positivo).

Casos especiales:

Ejemplos:

Una vez que hemos conocido lo anterior llegamos a los siguientes teoremas, que comúnmente son llamados leyes de los exponentes.

Si m y n son enteros positivos, entonces  

Ejemplos:

Las leyes de los exponentes pueden generalizarse:

¿Qué sucede si los exponentes no son positivos?

Exponente cero y negativo

El teorema que viene es útil para la solución de problemas con exponentes negativos.

Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en que cada número real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero.

Simplificar:

Solución:

Simplificar:

Radicales

Radicación es la operación inversa a la potenciación .Llamamos raíz n-ésima de un número dado al número que al elevarlo a n nos da el primero.

La expresión   es un radical de índice n: el número n es el índice del radical y el número a es el radicando.

Potencias de exponente fraccionario:

Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical en el que el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente del radicando:

Operaciones con radicales:

Multiplicar: para multiplicar radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se multiplican los radicandos.

En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la potenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos

Fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron rápidamente adoptados por científicos, ingenieros, y otros para realizar operaciones más fácilmente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por derecho propio — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVIII.

El latín interesse (“importar”), el término interés tiene un uso en las finanzas vinculado al valor, la utilidad y la ganancia. Por eso se conoce como interés al lucro que produce el capital.

En otras palabras, el interés es un índice que, a través de un porcentaje, permite expresar la rentabilidad de los ahorros o el costo de un crédito. Un plazo fijo de 10.000 pesos con un interés anual del 10% implica que, al cabo de un año, el ahorrista cobrará 1.000 pesos en concepto de intereses.

Por otra parte, el interés de un crédito es lo que debe pagar la persona que solicita el préstamo. Al solicitar un crédito de 5.000 pesos con un interés del 20%, el sujeto tendrá que pagar 1.000 pesos de interés, por lo que devolverá la suma de 6.000 pesos.

En cuanto a la definición de interés simple, se trata de los intereses que produce una inversión en el tiempo gracias al capital inicial. Por lo tanto, el interés simple se calcula en base al capital principal, la tasa de interés y el periodo (el tiempo de la inversión).

Lo importante a la hora de considerar al interés simple es que los intereses producidos por el capital en un determinado periodo no se acumulan al mismo para generar los intereses correspondientes al siguiente periodo.

Esto quiere decir que el interés simple que genere el capital invertido será igual en todos los periodos de duración de la inversión, siempre que la tasa y el plazo no varíen.

En conclusión todos estos puntos son muy importantes hasta para las actividades financieras propias, ya que nos da una idea de como se puede manejar nuestro patrimonio ya que podemos entender como manejar los intereses que podemos generar ya sea por prestamos solicitados y hasta para el pago de intereses de nuestro crédito hipotecario.